MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA / ERNEST F.HAEUSSLER, JR. I RICHARD S. PAUL I RICHARD J. WOOD

OBJETIVO GENERAL DE LA MATERIA:

El estudiante adquirirá destreza en el manejo de técnicas y procedimientos para la

solución de problemas. Hará uso de lenguaje matemático, de la sistematización de

información y de las formas de representación gráfica y analítica. Manejará los

conocimientos, métodos y algoritmos matemáticos establecidos en los programas, tanto

básicos como auxiliares para abordar los contenidos de otras materias. Elaborará y usará

modelos matemáticos en la resolución de problemas de optimizacion de recursos.

Para la mejora de entender lo que son las matemáticas uno de las personas que especifico y resolvio como son paso a paso las simples operaciones.

"AURELIO BALDOR"

LIBRO:

http://es.slideshare.net/JosManuelMercadoEgez/solucionario-de-baldor

REPASO PRÁCTICO OPERACIONES FUNDAMENTALES:  

* OPERACIONES FUNDAMENTALES

*EXPONENCIALES

*FRACCIONES ALGEBRAICAS

*ECUACIONES LINEALES

*ECUACIONES CUADRÁTICAS

Unidad 1. Funciones.

TUTORIAL SOBRE FUNCIONES

                                     https://www.youtube.com/watch?v=j_f_IEjiXrA

Objetivo:

El alumno entenderá el concepto de función y su manipulación algebraica, así como su representación gráfica. Resolverá problemas de aplicación, dando

especial énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico administrativas, tales como la Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

1.1 Definición y notación de función

En matemática, una función (f) es una relación  entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f (x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

1.2 Dominio y rango de una función

*Valor de entrada se llama: "Dominio"

*Valor de salida se llama: "Rango" / "Codominio"

NOTA: Cuando las funciones son polinomios los dominios son todos reales.

- Dos funciones iguales si,solo si el dominio de la primera es igual al dominio de la segunda. " g(x) = f(x) <==> Dg(x) = Df(x)

- Para toda definición y notación de función x en el dominio de cada una de las funciones me da el mismo valor e salida (Rango).

g (x) = 2x +8

DG (x) = x E (-∞,∞)

g (1) = 2(1) +8 =10

1.3 Tipos de funciones

FUNCIÓN CONSTANTE:

Es una función del tipo f(x)=k, donde k es un número real cualquiera. Fijémonos en que el valor de de f(x) es siempre k, independientemente del valor de X. Las funciones constantes cortan el eje vertical en el valor de la constante y son paralelas al eje horizontal (y por tanto no lo cortan).

La gráfica de una función constante, por ejemplo f(x)=2, es:

FUNCIÓN POLINÓMICA:

 Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio. 

f(x) = a₀ + a₁ x + a₁ x² + a₁ x³ +··· + a_n xⁿ 

Su dominio es es decir, cualquier número real y sus exponentes son enteros positivos. 

EJEMPLO: F(X) =4x6x³

Cnxn=6

n=3

FUNCIÓN RACIONAL:

Son las que se divide un polinomio entre otro polinomio.

                   POLINOMIO

f(x) =   ------------------------

                  POLINOMIO

f(x) =  3x²+4x

          -----------     ----->  Igualarlo a 0           X= 2/3        

             3x-2

FUNCIÓN CUADRÁTICA: 

NOTA : Es igual a la polinomica y lineal.

Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinomica definida por:

con .

y = (x − 1)² + 1

FUNCIÓN RADICAL:

Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical. En esta práctica estudiaremos las funciones del tipo y también las que tienen como expresión general .La gráfica de estas funciones es muy diferente a las de las anteriormente estudiadas.

, , 

FUNCIÓN EXPONENCIAL:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x

FUNCIÓN LOGARÍTMICA: 

Son los que tienen logaritmo en la función y lo llevan detrás de una literal.

FUNCIONES A TROZOS O POR PARTES:

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable independiente "x" se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen "y" que les corresponde.

Es imprescindible conocer qué formula usar con cada valor de "x", por lo que cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación.  

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO:

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 

4. Representamos la función resultante.

1. 

D = 

1.4 Operaciones con funciones.

- Combinación de funciones:

*(f-g)(x) =fx-g(x)

(f-g)(X) =-2x² -2x+7

*(fg)(x) = f(x).g(x)

(fg)(x) = (x²+4x+5)(3x²+6x-2)

1.5 Composición de funciones.

*(°g)(x)=°f(g(x))

f(x)=4x

g(x)=5x+6

(f°g) =4(5x+6)

-Función inversa:

*(f°g)(x)=(g°f)(x)

f(x)=x²+6 para x=6

y=x²+6

y-6=x²

x²=y-6

x= y-6 

f(y)=  y-6

1.6 Gráfica de una función.



RECTA:

Las rectas no tienen comienzó ni final: son líneas compuestas de puntos que se suceden de manera indefinida. Están consideradas como uno de los entes fundamentales de la geometría, al igual que los ya mencionados puntos y los planos.

Es importante destacar que los puntos también forman segmentos, que son porciones de rectas (comienzan en un punto y terminan en otro). Puede decirse, en este sentido, que una recta está formada por diferentes segmentos.

SI X0 =8
SI X1 =29

PENDIENTE :La fórmula de razón de cambio 
m= y1-y0
------------ 
      x1-x0

Sacar la distancia= se resta el final menos el origen.

-ECUACIÓN DE LA RECTA/EN LA FORMA PUNTO PENDIENTE

m= Y1-Y0
     -----------  Despejar (hacerla inversa)
      X1-X0 

Y1-Y0= m(X1-X0)


1.7 Función lineal y función cuadrática.

-CUADRÁTICA:

Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado son las expresiones de la forma:
ax² + bx +c = 0 con a ≠ 0

Para resolver ecuaciones de segundo grado utilizamos la siguiente fórmula:







-LINEAL:

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

1.8 Función exponencial y logarítmica.

Ecuación Exponencial:

Se conoce como ecuación exponencial a una ecuación donde la incógnitas forman parte solo de los exponentes de potencias para ciertas bases constantes. Usualmente la letra ((x)) es la incógnita, pero se puede usar cualquier letra.

Una de la ecuaciones exponenciales mas simples, cuya solución se reduce a la de una ecuación algebraica, es la ecuación del tipo af(x) = b, pero tenemos también ecuaciones exponenciales del tipo af(x) = bg(x).

Formas de resolución

Ejemplos:

• 8x = 512
• 3x_1 = 21876

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

• a> 0 a ≠ 1
• ax1= ax2 x1 = x2
• Las propiedades de las potencias.

Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad.

Como resolver una ecuación exponencial

•Por simple inspección, es decir se descompone la parte numérica en sus factores primos.

•Aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad.

•Realizar correctamente las operaciones indicadas.

•Comprobar resultado

Solución de las Ecuaciones Exponenciales

Existen dos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones exponenciales. 1.Método de reducción a una base común. Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base común a donde a es un número positivo, distinto de 1. Usando la propiedad af(x) = ag(x) ; f(x) = g(x) en otras palabras, los exponentes se igualan y resulta un tipo de ecuación en el cual se aplican las transformaciones algebraicas explicadas anteriormente.

2.Método de logaritmización de una ecuación exponencial. Se aplica logaritmos a conveniencia en ambos lados de la ecuación y se procede con las transformaciones algebraicas y las leyes de logaritmos conocidas.

Sin embargo, es la práctica la que nos ayudara a diferenciarlas y la solución será mucho más fácil cada vez que resolvamos la siguiente ecuación. Además, toda solución debe probarse en la ecuación original, debido a que a veces en el procedimiento se introducen operaciones que agregan raíces extrañas.

Ejemplos de Ecuaciones exponenciales

• 23x+1 = 128
• 3x+4 = 21_3x
• 100x+1 = 20x

DERECHOS DE AUTOR

Libro de texto Matemática 12grado

http://www.vitutor.com/al/log/ecuContenidos.html

http://www.matebrunca.com/

http://www.scribd.com/doc/13497642/Funcion-lineal

http://www.google.cl/search?q=+%22funci%C3%B3n+lineal+es%22&hl=es&lr=lang_es&ie=UTF-8&oe=UTF-8&as_qdr=all&start=30&sa=N

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

Ecuaciones logarítmicas:

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

Propiedades de los logarítmos:

Ejemplos resueltos:

1.9 Aplicaciones en las ciencias económico administrativas: funciones de oferta y demanda; recta presupuestal, funciones de ingresos, costos y utilidades; funciones de
apreciación y depreciación.

CRECIMIENTO POBLACIONAL:

 FORMULA:  M=  c (1+i) n               P=Po (1+i) t

Ejemplo: La población de una ciudad de 1000 habitantes crecen a razón de 2% anual.Encuentre la población de 3 años.

Po=10000

i=2%

t=3 años

P=10000 (1.02)³ =10612.


CONCLUSIÓN FINAL UNIDAD l

Tras el estudio de las funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias.

El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo del trabajo los diferentes usos de las funciones y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, queda como un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.

UNIDAD II

Límites y continuidad.

Objetivo:

El alumno comprenderá la noción de límite y de continuidad de una función; las propiedades de los límites y los casos especiales de los límites. Aprenderá a calcular el límite de una función.

2.1 Definición de límite.

TUTORIAL LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

https://www.youtube.com/watch?v=rrbS5l--1Ss

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más!

Usemos por ejemplo esta función:

(x²-1)/(x-1)

Y calculemos su valor para x=1:

(1²-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

¡Pero 0/0 es un problema! En realidad no podemos saber el valor de 0/0, así que tenemos que encontrar otra manera de hacerlo.

En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x	(x2-1)/(x-1)
0.5	1.50000
0.9	1.90000
0.99	1.99000
0.999	1.99900
0.9999	1.99990
0.99999	1.99999
...	...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x²-1)/(x-1) se acerca a 2

Ahora tenemos una situación interesante:

• Cuando x=1 no sabemos la respuesta (es indeterminada)
• Pero vemos que va a ser 2

Queremos dar la respuesta "2" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a estas situaciones

El límite de (x²-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe así:

Así que es una manera especial de decir "ignorando lo que pasa al llegar, cuando te acercas más y más la respuesta se acerca más y más a 2"

En un gráfico queda así: Así que en realidad no puedes decir cuánto vale en x=1. Pero sí puedes decir que cuando te acercas a 1, el límite es 2.

¡Mira los dos lados!

Es como subir una colina y darte cuenta de que el camino ha "desaparecido" mágicamente... ... pero si sólo miras uno de los dos lados, ¿quién sabe qué está pasando? ¡Así que tienes que mirar las dos direcciones para estar seguro de dónde "debe de estar"!

Probemos por el otro lado:

x	(x2-1)/(x-1)
1.5	2.50000
1.1	2.10000
1.01	2.01000
1.001	2.00100
1.0001	2.00010
1.00001	2.00001
...	...

También va hacia 2, así que todo está bien

Cuando es distinto en los dos lados

Pero y si tenemos una función "f(x)" con un "salto" así:

¡En esta función el límite no existe en "a" ... ! No puedes decir cuál es, porque hay dos respuestas contradictorias: 3.8 por la izquierda, y 1.3 por la derecha Pero sí puedes usar los signos "-" o "+" (como en el dibujo) para definir los límites laterales: el límite por la izquierda (-) es 3.8 el límite por la derecha (+) es 1.3 Y el límite ordinario "no existe"

¿Los límites sólo son para funciones difíciles?

¡Los límites valen también cuando ya sabes el valor al llegar! Nadie ha dicho que sean sólo para funciones complicadas.

Por ejemplo:

Sabemos perfectamente que 10/2 = 5, pero también podemos usar límites (¡si queremos!)

Acercarse al infinito

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Vamos a empezar con un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más grandes:

x 1/x 1 1.00000 2 0.50000 4 0.25000 10 0.10000 100 0.01000 1,000 0.00100 10,000 0.00010

Ahora vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

• No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
• Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

2.2 Propiedades de los límites.

Límite de una constante

EJEMPLO:  

Límite de una suma

El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites de cada una de ellas:

                      

Límite de un producto

El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los límites de cada una de ellas:

                        

Límite de un cociente

El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:

                  

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

2.3 Límites laterales.

El concepto de límite está íntimamente ligado al concepto de función. Cada uno de los números que se acerca a 4 pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos "esos" números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.

En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que "la cuenta" de 4 (que es nuestro límite).

x y = 4 + x – 0,1 3,9 – 0,01 3,99 – 0,001 3,999 – 0,0001 3,9999

¬ Por izquierda Por derecha ®

x y = 4 + x  0,1 4,1  0,01 4,01  0,001 4,001  0,0001 4,0001

 El valor de x se acerca a "cero" y el valor de "y" (la imagen de la función) se acerca a 4. Para hablar con propiedad, en matemática no se dice "se acerca a" sino "tiende a"; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir "tiende a" se pone una flecha. De manera que "x tiende a cero" se indica "x ® 0" e "y tiende a cuatro" se escribe como "y ® 4".

Ya estamos un poco más cerca de poder leer "matemáticamente". El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.

2.4 Límites al infinito.

LIMITES INFINITOS

Decimos que lim f(x)= si para los valores de x proximos a a,     x→ a    los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente,    lim f(x) = – 
x→a 

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – 
x→a 

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces  f(x) < -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = – 
x→ 0-
→ lim    1/|x| =                                                x→0 

EJEMPLO:

lim_x->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E^*_a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.

LÍMITES AL INFINITO:

Cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:

• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→ 

•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.         x→

Se dice que  crece sin límite cuando  tiende a , que se denota, si para todo número real , (sin importar su magnitud), existe  tal que  siempre que .

Gráficamente se tiene: 


Esta definición nos dice que es posible hacer  tan grande como se quiera, (es decir, mayor que cualquier número positivo ), tomando  suficientemente cerca de .

REGLAS DE LÍMITES

 ) 

siempre que no aparezca la indeterminación 
.

b) 
con 
.

c) 
siempre y cuando no aparezca la indeterminación 
.

d) 
siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones 
e 
.

e) 
con 
, siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

f) 
siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos.

                             

2.5 Continuidad y discontinuidad.

CONTINUIDAD:

Condiciones que debe cumplir una función para que sea continua en un punto. Si alguna condición no se cumple la función presentara un discontinuidad en ese punto.

DISCONTINUIDAD:

Los tipos de discuntinuidad de funciones pueden ser entre otras evitable o discontinuidad de salto.

Discontinuidad evitable

Discontinuidad de salto finito

Discontinuidad de salto infinito

2.6 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: interés compuesto
continuamente, límite de la función costo promedio.

Interés compuesto

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (C_f).

Para un período determinado sería

Capital final (C_f) = capital inicial (C) más los intereses.

Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Año	Depósito inicial	Interés	Saldo final
0 (inicio)	$1.000.000	($1.000.000 x 10% = ) $100.000	$1.100.000
1	$1.100.000	($1.100.000 × 10% = ) $110.000	$1.210.000
2	$1.210.000	($1.210.000× 10% = ) $121.000	$1.331.000
3	$1.331.000	($1.331.000 × 10% = ) $133.100	$1.464.100
4	$1.464.100	($1.464.100 × 10% = ) $146.410	$1.610.510
5	$1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

En inversiones a interés compuesto, el capital final (C_f), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a.
Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.

Como corolario a esta fórmula:

A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i):

Sacamos factor común  C:

También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de C_f:

En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.

EJEMPLO: 

Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

Resolución:

Aplicando la fórmula 

Reemplazamos con los valores conocidos:

En tasa de interés compuesto 

Capital inicial 

Tiempo en años (t) = 5

Respuesta:

El capital final es de 1.763.194 pesos. 

Autor:

Henner Vieras Leon

Rojas M. Ludys C.

Guerrero Xiomara

Rojas Carmen Maria

Linares Alexander J.

Chinchilla Juan C.

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y DEPORTE

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE EDUCACIÓN ESPECIALIZADA

VALERA ESTADO TRUJILLO

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos41/derivada-y-limite/derivada-y-limite2.shtml#ixzz3b0Iq7HFr



CONCLUSIÓN FINAL DE UNIDAD II

La importancia que tiene al estudiar derivados y limites, nos permite conocer como se ejecuta todos sus pasos; es decir que es de buena importancia resaltar que este tema lo estudiábamos cursando la etapa de educación básica, para este entonces habemos personas que tenemos de 10 años sin estudiar, y como seres humanos debemos repasar y practicar la matemática para un mejor futuro.

UNIDAD III: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 

OBJETIVO:

El alumno entenderá el concepto de derivada y su interpretación geométrica y como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad,

ingreso y producción.


TUTORIAL SOBRE DERIVADAS

https://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=video&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CBwQuAIwAA&url=http%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3D-91UZ9S19Oo&ei=QudgVYSEEcH5yQStuoKwBg&usg=AFQjCNEknxv1xlJlcH2rxU_ngKr_apQ0yg&sig2=8E0IrUgfmFgm1C5PcbTYXg

3.1 Definición de la derivada.

 La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.



3.2 Diferenciación de funciones por incrementos. 



La derivada de una función f esla función denotada por    f' (f prima) y definida por

f' (x) = lim         f(z)-f(x)            lim      f(x+h) -f(x)
           z-->x      ------------  =     h-->0    --------------
                            z-x                                    h
 siempre que este límite exista.Si f' (a) puede encontrarse se dice que f esdiferenciable en a y f' (a) se llama derivada de f(a),o derivada de f con respecto a x en a. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación.





NOTA : Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.

REGLAS PARA LA DIFERENCIACION:

1) d
   ----   (c) = 0    la derivada de una constante es 0.
    dx

2)  d
    -----   (xn) = nxn-¹
      dx

3) d
   -----      (cxn) = cn x n-¹
   dx

4)  d                                    d                  d
   -----     (f(x) + g(x) )   = -------   f(x)   ------  g(x)
     dx                                 dx                dx


3.3 La derivada como razón de cambio.

Derivada = f'

Sea u y v una función derivable entonces la derivada de u por v es la del producto, es igual a la uv' mas la v'u.

(uv) = u'v +v'u

EJEMPLO:  f(x) = (3x² +5) ( 4x² +6) 

u= 3x²         u'= 6x

v0 4x² +6      v' =8x


f'(x) = 6x (4x²+6)  + 8x (3x² +5)

= 24x³ +36x +24x³ +40x

= f' (x) = 48x³ + 76x


3.4 Diferenciabilidad y continuidad

Derivada; Diferenciabilidad 
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por

f'(a)

=

lim h0

f(a+h) - f(a) h

Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.

Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.

Nota

Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a si

lim h0

f(a+h) - f(a) h

no existe, o es infinito.

En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.

3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

DERIVADA DE UNA CONSTANTE:

Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por  y su derivada es .

Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cúbica, entre otras.

Por ejemplo la función:

Lo primero es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

Quedando finalmente:

Considérese la función 

Se tiene:

DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR FUNCIÓN:

Cuando una función esté representada por medio de , su derivada equivale a  de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

Puesto que 

DERIVADA DE UNA SUMA:

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir,  o .

Como ejemplo consideremos la función , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

DERIVADA DEL PRODUCTO DEL COCIENTE:

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."

Y matemáticamente expresado por la relación . Consideremos la siguiente función como ejemplo:

Identificamos a  y , utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

 y que 

Por lo tanto

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir  en donde  (sin importar que dos funciones escogemos).

3.6 La regla de la cadena y de la 

potencia.

CADENA:

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

o escrito en notación de Leibniz

POTENCIA:

 La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

CONCLUSIÓN FINAL UNIDAD III

El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. 
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. 
Un aspecto importante en el estudio de la derivada  de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.

Unidad IV. Tópicos complementarios de diferenciación.

OBJETIVO:

El alumno aprenderá el uso de técnicas avanzadas de derivación y sus

aplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales,

funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el

concepto de diferencial y sus aplicaciones.

4.1 Derivadas de funciones logarítmicas.

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

4.2 Derivadas de funciones 

exponenciales.

4.3 Diferenciación implícita.

Si  es una función implícita,

se tiene que: 

4.4 Diferenciación logarítmica.

.

.

.

.

Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo.

4.5 Derivadas de orden

superior.


"Sacar todas las derivadas posibles"

f(x) = 4x³+8x²+6x

f(x) = 12x² + 16x +6

f(x) = 24x +16

f(x) = 24



4.6 Diferenciales.

El diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente.

Informalmente, el diferencial dy se define en cursos introductorios mediante la expresión:

donde  es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión:

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales.

CONCLUSIÓN FINAL UNIDAD IV

La interpretación de la derivada como la pendiente de la recta tangente proporciona información acerca del comportamiento de las funciones, lo cual resulta muy útil para trazar su grafica. La recta tangente en un punto proporciona una aproximación lineal al comportamiento de la función en un entorno o vecindad del punto. Las tangentes a una curva son también extremadamente útiles al analizar donde crece, donde decrece una función y donde se sitúan sus valores máximos y mínimos. Estos temas serán discutidos en esta unidad.

Unidad V. Aplicaciones de la 

derivada.

OBJETIVO:

El alumno analizará el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de

optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las

disciplinas económico-administrativas.

5.1 Función creciente y

 decreciente.

Se dice que una función f es creciente en el intervalo I, cuando para cualquiera dos números x', x2, en i, si x1 es menor que x2, entonces f(x) es menor f(x) 2. 

Una función f es decreciente en el intervalo I, cuando para cuales quiera dos números X1,X2 en I, si X1 es menor que x2, entonces f(x)1 es mayor que f(x)²

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo..
Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo, .

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo[a,b]

Ejemplo:

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación f(x) = 1 / 2(x² − 4x + 1).

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x − 2.

Como f'(x) > 0 ↔ x − 2 > 0, o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0 ↔ x − 2 < 0, o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

EJEMPLO: Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación f(x) = x² + (1 / x²) con x ≠ 0.

La derivada de f está dada por f'(x) = 2x − (2 / x³) que puede escribirse como f'(x) = [2(x − 1)(x + 1)(x² + 1)] / x³

Como 2(x² − 1) es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x³ > 0 y

f'(x) < 0 </math> ←→ [(x − 1)(x + 1)] / x³ < 0

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

Luego: f'(x) > 0 si x € ( − 1,0)U(1, + ∞) por lo que la función f crece en el intervalo ( − 1,0)U(1, + ∞) .

Además: f'(x) < 0 si x € ( − ∞, − 1)U(0,1) de donde la función f decrece en el intervalo ( − ∞, − 1)U(0,1) .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

5.2 Extremos relativos y extremos 

absolutos

Los extremos relativos y absolutos de una función causan muchos dolores de cabeza entre los estudiantes ya que los confunden. En los siguientes vídeos os voy a explicar de una forma clara la forma de calcularlos y diferenciarlos, tanto analíticamente como  gráficamente.

Los extremos relativos se obtienen derivando la función a estudiar e igualando la primera derivada a cero, despejamos la variable,normalmente se llama x, y en caso de que exista solución, esos valores de la x constituyen la coordenada x del punto de los extremos relativos. Lo que no sabemos aún es si son máximos o mínimos, pero son extremos relativos sin ninguna duda. Para poder discernir que tipo de extremos son usaremos el criterio de la segunda derivada.

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

  

 En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema: "Prueba de la primera derivada". 

En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)<0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f '(x)<0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)>0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo).

P r o c e d i m i e n t o

Para determinar los valores extremos relativos de una función se procede de la siguiente manera: 1.   Se halla la derivada de la función: f '(x) 2.   Se hallan los #s críticos de la función, esto es los valores de x para los cuales f '(x) = 0 o para los cuales f ' no existe. 3.   Se aplica el criterio de la primera derivada

x f (x) f ' (x) Conclusión   - f  decrece -5 0 f  tiene un mínimo relativo   + f  crece

5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.



CONCAVIDAD:

f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E^*_a / para todo x perteneciente al E^*_a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

PUNTOS DE INFLEXIÓN:

f presenta un punto de inflexión en x=a si existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la derecha).

		En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por debajo de la tangente.
		En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la tangente.

 SEGUNDA DERIVADA: 

Suponga f' de a es = 0, si f'' (a) es menor que 0, entonces f tiene un maximo relativo en a.
Si f'' (a) es mayor que 0, entonces f tiene un minimo relativo en a.

5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

DEMANDA:
¿Que tanto puede variar el preco sin que afecte la demanda?

Si P= fq es una funcón de demanda difernciable, la elasticidad puntual de la demanda, denotada por la letra n, en (P,q) está dada por 

=n (q) = p
            -----
              q
          ------------
             dp
           -------
              dq

NOTA: 
Cuando el valor absoluto de n es mayor que uno la demanda en elastica. 

InI >1

Cuando el valor absoluto de n es = 1 es elaticidad unitaria 

InI = 1

Cuando el valor absoluto es menor que 1 es inelastica 

InI  < 1


ELASTICIDAD: 

r=pq 

u=P      u' =dq
                  -------
                   dp        
V= q      v'= 1

r'= P+   dq
            ------   . q
              dp

r'= P(1+ dq         q  )
              -----  .  ------
               dp         p

dr
----- = P (1 + 1)
 dq              ----
                     n


TUTORIAL DERIVADA DE UNA FUNCIÓN:

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CONCLUSIÓN FINAL UNIDAD V:

Introducir el concepto de derivada, proporcionar su interpretación gráfica e ilustrar su interpretación física. Saber distinguir en qué puntos una función es derivable y en qué puntos no admite derivada.
Familiarizarse con el cálculo automático de derivadas, con la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas, con la derivación múltiple y —finalmente— con la derivación implícita.






Para finalizar espero les quede claro y entendible todos los conceptos de las 5 unidades, ya que detallademente los fuí explicando de manera que el lector le sean comprendibles.

GRACIAS!!